Neenačbe

Neenačba je zapis sestavljen iz dveh matematičnih izrazov, ki ju imenujemo leva in desna stran neenačbe, in iz neenačaja, ki stoji med njima. Neenačaj je lahko eden od naslednjih znakov: <, >, ≤, ≥ (ali tudi ≠). V neenačbi nastopajo tudi spremenljivke, ki jih v tem primeru imenujemo neznanke. Najpogosteje v matematiki srečamo neenačbe z eno neznanko, ki je ponavadi označena s črko x.

Rešitev neenačbe z eno neznanko je realno število, pri katerem neenakost velja. (Torej: če vstavimo to število namesto neznanke, dobimo na levi strani res manjši (oziroma večji/ večji ali enak/ manjši ali enak) rezultat kot na desni strani.)

Vse rešitve neenačbe sestavljajo množico rešitev neenačbe. Množico vseh rešitev dane neenačbe označimo z oznako R .

Zgledi:
(1) Neenačba   3x ≤ 6   ima za rešitev vsak x ≤ 2.
To lahko zapišemo tudi v obliki intervala: x ∈ (−neskončno, 2], oziroma R = (−neskončno, 2].

(2) Neenačba   x + 5 > x   ima za rešitev vsako realno število, saj je leva stran vedno večja od desne.
Torej je R = R.

(3) Neenačba   x2 > 0   ima za rešitev vsako realno število razen 0.
Torej lahko množico rešitev zapišemo kot: R = R \ {0} = (−neskončno, 0) ∪ (0, neskončno).

Dve neenačbi sta enakovredni (ekvivalentni), če imata enaki množici rešitev.

Zgled: Neenačbi   x + 5 < 25   in   −x > −20   sta enakovredni, saj je za obe množica rešitev R = (−neskončno, 20).

Reševanje neenačb

Neenačbo rešimo tako, da jo preoblikujemo v drugo neenačbo, ki je prvotni enakovredna (tj. ima isto množico rešitev), vendar pa je po obliki preprostejša.

Pri reševanju neenačb uporabljamo zlasti naslednje postopke, ki so posledica lastnosti relacije urejenosti realnih števil (rezultat je vedno neenačba, ki je prvotni ekvivalentna):

  • Levi in desni strani neenačbe lahko prištejemo isto število (ali tudi neznanko ali daljši matematični izraz).
  • Če levo in desno stran neenačbe pomnožimo ali delimo z istim pozitivnim številom, se neenačaj ohrani.
  • Če levo in desno stran neenačbe pomnožimo ali delimo z istim negativnim številom, se neenačaj obrne.

Pri reševanju neenačb upoštevamo tudi naslednje opozorilo:

  • Če levo in desno stran neenačbe pomnožimo ali delimo z izrazom, ki vsebuje neznanko, dobljena neenačba praviloma ni enakovredna prvotni, zato tega postopka pri reševanju neenačb ne uporabljamo. (Problem izvira iz dejstva, da je pri različnih vrednostih neznanke izraz lahko pozitiven, negativen ali tudi enak 0. Če vemo, da je vrednost določenega izraza zagotovo pozitivna, levo in desno stran neenačbe lahko pomnožimo s tem izrazom.)

Preproste neenačbe

Nekaj nasvetov za reševanje preprostejših tipov neenačb z eno neznanko:

  • Neenačbo prve stopnje (linearno neenačbo z eno neznanko) rešimo tako, da prenesemo člene z neznanko na eno stran, člene brez neznanke pa na drugo stran. Ne pozabimo, da se neenačaj pri deljenju z negativnim številom obrne.

    Zgled:
    3x + 4 < 5x − 6
    3x − 5x < −6 − 4
    −2x < −10    / : (−2)
    x > 5
    x ∈ (5, neskončno)

  • Težje neenačbe (kvadratne, polinomske, racionalne ipd) pogosto rešujemo s sliko.
    Najprej prenesemo vse člene na levo stran, da dobimo obliko f (x) > 0 (oziroma <, ≤, ≥ 0).
    Potem narišemo graf funkcije y = f (x).
    S pomočjo grafa ugotovimo, kje je vrednost funkcije večja od 0 (oziroma <, ≤, ≥ 0).

    Zgled:
    x2 ≥ x + 2
    x2 − x − 2 ≥ 0
    (x + 1)(x − 2) ≥ 0
    Reševanje neenačbe
    Rešitev je vsak x ∈ (−neskončno, −1] ∪ [2, neskončno)

  • Če na levi in desni strani neenačbe uporabimo povsod rastočo funkcijo, se neenačaj ohrani.
    Če pa na levi in desni strani neenačbe uporabimo povsod padajočo funkcijo, se neenačaj obrne.

    Zgled (na obeh straneh neenačbe uporabimo padajočo funkcijo log1/2, zato se neenačaj obrne):
    Reševanje neenačbe

Sistemi neenačb

Sistem neenačb z eno neznanko rešimo tako, da rešimo vsako posamezno neenačbo. Rešitev sistema je presek množic rešitev posameznih neenačb.

Zgled:
Dan je sistem neenačb:   x2 ≤ 4,   1 − x > 0
Najprej rešimo prvo neenačbo in dobimo: x ∈ [−2, 2].
Potem rešimo drugo neenačbo in dobimo: x ∈ (−neskončno, 1).
Rešitev sistema neenačb je presek obeh tako dobljenih množic, torej x ∈ [−2, 1).

Neenačba z dvema neznankama

Rešitev neenačbe z dvema neznankama (xy) je vsaka točka T(xy), za katero neenakost velja. To pomeni, da rešitve neenačbe z dvema neznankama sestavljajo množico točk v ravnini.

Zgled:
Dana je neenačba: y ≥ x2 − 2
Rešitve neenačbe so vse točke, ki ležijo na grafu funkcije y = x2 − 2 ali nad njim.
Torej:
Neenačba z dvema neznankama

Sistem neenačb z dvema neznankama rešimo tako, da rešimo vsako posamezno neenačbo. Rešitev sistema je presek množic rešitev posameznih neenačb.

Glej tudi: linearna neenačba z dvema neznankama