Polinomi

Polinom stopnje n (n ∈ N0) je vsaka funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike:
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0
Pri tem so koeficienti anan−1,  . . . , a2a1 in a0 poljubna realna števila, koeficient an pa mora biti različen od 0 (polinom je stopnje n samo, če potenca xn v polinomu res nastopa).

Koeficient an (koeficient pri najvišji potenci, ki v polinomu nastopa) se imenuje vodilni koeficient polinoma. Člen an xn se imenuje vodilni člen polinoma.
Koeficient a0 (koeficient brez x), se imenuje prosti koeficient ali tudi prosti člen polinoma.

Stopnjo polinoma p označimo: st(p)

Polinom druge stopnje je kvadratna funkcija.
Polinom prve stopnje je linearna funkcija.
Polinom ničte stopnje je konstantni polinom p(x) = a   (za a ≠ 0).
Kot poseben primer uvrstimo v množico polinomov tudi ničelni polinom – to je polinom, ki je konstantno enak 0. Ničelni polinom nima definirane stopnje (pravimo tudi, da ima stopnjo minus neskončno).

Računanje s polinomi

Če v enačbo polinoma vstavimo dano število a, lahko izračunamo vrednost polinoma p(a)   (vrednost polinoma v točki a oziroma vrednost polinoma pri x = a).
Polinome lahko seštevamo, odštevamo in množimo (glej računanje s funkcijami). Rezultat vsake od teh računskih operacij je spet polinom.

V množici polinomov lahko izvajamo tudi računsko operacijo deljenje z ostankom (primerjaj: deljenje z ostankom v množici naravnih števil).
Velja:
Osnovni izrek o deljenju polinomov:
Poljuben polinom deljenec p lahko delimo s poljubnim neničelnim polinomom deliteljem q in pri tem dobimo polinom količnik k(x) in polinom ostanek o(x), tako da velja
p(x) = q(xk(x) + o(x)   (tj. velja preizkus pri deljenju) in
st(o) < st(q)   (tj. stopnja ostanka je manjša od stopnje delitelja)

Pri deljenju polinoma p s polinomom (x − a) je ostanek vedno število (ker je stopnja delitelja 1, mora biti stopnja ostanka manjša od 1). Izkaže se, da je to število enako vrednosti polinoma p(a).
Deljenje polinoma p s polinomom (x − a) lahko zapišemo na krajši način s Hornerjevim algoritmom.

Ničle polinoma

Če je število a ničla polinoma p, je ostanek pri deljenju polinoma p s polinomom (x − a) enak 0 (deljenje se izide brez ostanka). Torej lahko v tem primeru polinom p zapišemo v obliki:
p(x) = (x − ak(x)

Odgovor na vprašanje, kateri polinomi sploh imajo ničle, podaja Gaußov izrek, ki ga imenujemo tudi
Osnovni izrek algebre polinomov:
Vsak nekonstanten polinom ima v C vsaj eno ničlo.

Posledica Gaußovega izreka:
Polinom stopnje n (za n > 0) lahko zapišemo v razcepljeni (ničelni) obliki:
p(x) = C (x − x1)(x − x2)  · · ·   (x − xn)

Števila x1x2, …, xn, ki nastopajo v razcepljeni obliki, so ravno vse ničle polinoma p.
Če so vsa ta števila med seboj različna, vidimo, da ima polinom stopnje n točno n ničel. Če so nekatera (ali tudi vsa) od teh števil med sabo enaka, je ničel seveda manj kot n.
Če ničla xm v razcepljeni obliki nastopa k-krat, pravimo, da je to k-kratna ničla polinoma (oziroma ničla stopnje k). Če vsako ničlo polinoma štejemo tolikokrat, kolikor je njena stopnja, lahko rečemo, da ima polinom stopnje n vedno točno n ničel.

Čeprav so koeficienti polinoma realna (ali kar cela) števila, so ničle polinoma v splošnem lahko nerealne.
Velja pa pravilo: Če ima polinom z realnimi koeficienti nerealne ničle, potem te nastopajo v konjugiranih parih.

Iskanje ničel polinoma
Žal ne obstaja preprosto splošno pravilo za iskanje ničel polinoma.
Pri iskanju ničel najpogosteje uporabljamo naslednje metode (oziroma kombinacijo naslednjih metod):

  • Razcepljanje: Polinom razcepimo po pravilih za razcepljanje izrazov in iz razcepljene oblike razberemo ničle.
  • Inteligentno ugibanje: Ničlo a »uganemo« in s Hornerjevim algoritmom preverimo, da je to res ničla, potem pa polinom razcepimo v obliko: p(x) = (x − ak(x).

    Da je ugibanje res inteligentno, se ravnamo po naslednjih pravilih:
    (1) Cele ničle polinoma s celimi koeficienti iščemo samo med delitelji prostega člena.
    (2) Racionalne ničle polinoma s celimi koeficienti iščemo samo med ulomki, ki imajo v števcu delitelj prostega člena, v imenovalcu pa delitelj vodilnega koeficienta.

  • Numerične metode: Če druge metode odpovejo, poiščemo približne vrednosti ničel z numeričnimi metodami.
    Najbolj znana numerična metoda je metoda bisekcije:

    Najprej poiščemo interval [ab], na katerem polinom (oziroma poljubna zvezna funkcija) spremeni predznak (v enem krajišču je funkcija pozitivna, v drugem pa negativna).
    Potem izračunamo razpolovišče intervala: c = 1/2(a + b).

    Ugotovimo, na katerem od manjših intervalov [ac] ali [cb] funkcija spremeni predznak, in postopek nadaljujemo na tem intervalu.

    Če želiš izvedeti več o tem, glej dodatek: Numerične metode za reševanje enačb.

Graf polinoma

Polinom je zvezna funkcija. To pomeni, da je graf polinoma nepretrgana krivulja. Pri risanju grafa polinoma upoštevamo naslednja pravila:

  • Graf polinoma, ko gre x proti ±plus-minus neskončno, je podoben grafu vodilnega člena tega polinoma (y = anxn). Torej je podoben grafu potenčne funkcije y = xn raztegnjene z raztegom v smeri osi y za an.
  • Graf polinoma v okolici ničle k-te stopnje je podoben kot graf potenčne funkcije y = xk (z ustreznim raztegom in premikom).

    To pomeni, da ločimo tri vrste ničel:
    (1) enostavne ničle (ničle prve stopnje): graf seka abscisno os pod določenim kotom.
    Enostavna ničla

    (2) ničle sode stopnje (tj. stopnje 2., 4., 6. itd): graf ne prečka abscisne osi, v ničli sode stopnje ima polinom lokalni ekstrem.
    Dvojna ničla

    (3) ničle lihe stopnje večje od 1 (tj. stopnje 3., 5., 7., itd): graf prečka abscisno os, vendar tako, da se ji v okolici ničle zelo lepo prilega (ima vodoravno os za tangento) – pravimo, da ima graf v taki ničli vodoravni prevoj.
    Trojna ničla

    Torej ugotovimo: Predznak polinoma se spremeni samo v ničlah lihe stopnje.

Zgled:
Polinom p(x) = (x + 1)x2(x − 2)3 ima enojno ničlo pri −1, dvojno ničlo pri 0 in trojno ničlo pri 2.

Graf polinoma - zgled