Funkcije

Funkcija f :  A → B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x ∈ A priredi funkcijsko vrednost f (x) ∈ B.

Množica A je množica vseh podatkov, na katerih izvajamo funkcijo f; torej množica vseh podatkov, za katere je funkcija definirana. Imenujemo jo tudi definicijsko območje funkcije f. Oznaka: Df
Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f
Zaloga vrednosti je lahko enaka množici B, lahko pa je tudi njena prava podmnožica.

Funkcija realne spremenljivke je funkcija, ki ima za podatke samo realna števila; torej: D f ⊂ R.
Realna funkcija je funkcija, ki ima za funkcijske vrednosti (tj. za rezultate) vedno samo realna števila; torej: Z f ⊂ R.

V matematiki najpogosteje srečujemo funkcije, ki imajo za podatke in za rezultate samo realna števila. Pravimo jim realne funkcije realne spremenljivke.
Dogovor: Zaradi krajšega izražanja bomo v nadaljevanju uporabljali izraz funkcija v ožjem pomenu:
»funkcija« = »realna funkcija realne spremenljivke«

Podajanje funkcije

Funkcijo podamo s funkcijsko enačbo ali s funkcijskim predpisom. Oba vsebujeta ime funkcije (ponavadi f ), oznako neodvisne spremenljivke (ponavadi x) in formulo, po kateri izračunamo funkcijsko vrednost.

Zgled:
Funkcija f naj pomeni pravilo: »podatek kvadriraj in prištej 5.«
To funkcijo zapišemo s funkcijsko enačbo (beri: f od x je enako x2 + 5):
Funkcijska enačba

… oziroma s funkcijskim predpisom (beri: f preslika x  v  x2 + 5):
Funkcijski predpis

Ponazarjanje funkcije

Funkcijo ponazorimo s tabelo ali z grafom.

  • Tabela funkcije podaja različne vrednosti spremenljivke x in ustrezne funkcijske vrednosti f (x).Zgled:
    Dana je funkcija f (x) = x3 − 4x.
    Zapišimo tabelo te funkcije na intervalu [−3, 3] s korakom 0.5:
    Tabela funkcije
  • Graf funkcije je množica točk (xy), za katere velja med koordinatama zveza y = f (x), torej:
    Gf = {(xy); y = f (x)}Enačbo y = f (x) imenujemo tudi enačba grafa funkcije.

    Zgled:
    Graf funkcije f (x) = x3 − 4x   (tj. množica točk, za katere velja enačba y = x3 − 4x):

    Graf funkcije

Računanje s funkcijami

  • Najpomembnejši računski postopek, ki ga računamo s funkcijami, je izračun funkcijske vrednosti pri danem podatku (vstavljanje podatka x v funkcijo).
    Zgled:
    Dana je funkcija f (x) = x2 + 5x. Izračunajmo vrednost te funkcije pri x = 3. Dobimo:
    f (3) = 32 + 5 · 3 = 24
  • Poleg tega lahko s funkcijami računamo štiri osnovne računske operacije:
    Funkciji f in g seštejemo, odštejemo, zmnožimo in delimo tako, da ustrezno računsko operacijo izračunamo za dani funkcijski vrednosti f (x) in g(x), torej:(f + g)(x) = f (x) + g(x)
    (f − g)(x) = f (x) − g(x)
    (f · g)(x) = f (x· g(x)
    Deljenje funkcij
  • Posebna računska operacija, ki jo računamo v množici funkcij, je kompozitum ali sestava funkcij. Kompozitum funkcij f in g označimo f ○ g in ga izračunamo po pravilu:(f ○ g)(x) = f (g(x))

    To pomeni, da podatek x najprej preslikamo s funkcijo g, tako da dobimo g(x), potem pa tako dobljeni rezultat preslikamo še s funkcijo f, tako da dobimo f (g(x)).
    Drugače povedano: kompozitum f ○ g dobimo tako, da v enačbo funkcije f namesto spremenljivke x vstavimo g(x).
    Rezultat kompozituma imenujemo tudi sestavljena funkcija.

    Zgled:
    Izračunajmo kompozitum naslednjih dveh funkcij.
    Zgled za kompozitum

    Iz zgornjega zgleda vidimo, da kompozitum f ○ g ni enak kompozitumu g ○ f (ne velja komutativnost).
    Izkaže pa se, da za kompozitum treh funkcij velja asociativnostni zakon:
    f ○ (g ○ h) = (f ○ g) ○ h

    V množici funkcij obstaja tudi funkcija, ki je nevtralni element za kompozitum. To je identična funkcija fid(x) = x. Velja zakon o nevtralnem elementu:
    f ○ fid = fid ○ f = f

    Glej tudi: graf sestavljene funkcije.

  • Inverzna funkcija je funkcija, ki deluje ravno obratno kot dana funkcija f. Če dana funkcija f preslika podatek x v rezultat y, potem inverzna funkcija preslika y nazaj v x. Izkaže se, da inverzna funkcija obstaja, samo če je dana funkcija f bijektivna funkcija f :  A → B.
    Inverzno funkcijo (če obstaja) označimo f −1 in to je funkcija f −1 :  B → A   (tj. f −1 je funkcija, ki preslikuje iz B v množico A).
    Inverzna funkcija f −1 deluje ravno obratno kot prvotna funkcija f, zato velja   (f ○ f −1)(x) = (f −1 ○ f )(x) = xKer inverzna funkcija deluje ravno obratno kot prvotna funkcija f, se pri inverzni funkciji vloga podatka in rezultata zamenjata. Če je f (a) = b, potem je f −1(b) = a   (tj: če funkcija f preslika element a v element b, potem inverzna funkcija f −1 preslika element b v element a).

    Na tem pravilu je zasnovan tudi postopek določanja enačbe inverzne funkcije:
    Najprej enačbo prvotne funkcije zapišemo v obliki y = f (x).
    Potem v tej enačbi zamenjamo črki x in y (zamenjamo vlogo podatka in rezultata).
    Potem iz dobljene enačbe izrazimo y in tako dobimo enačbo inverzne funkcije.

    Zgled:
    Poiščimo inverz funkcije f (x) = 2x + 5. Najprej zapišimo:
    f :   y = 2x + 5
    Zamenjamo x in y in izrazimo y:
    f −1:   x = 2y + 5
    −2y = −x + 5
    y = 1/2x − 5/2

    Torej je enačba inverzne funkcije:
    f −1(x) = 1/2x − 5/2

    Kot smo že zapisali, inverz funkcije f obstaja, samo če je funkcija f bijektivna. Kaj pa sicer? Pogosto si pomagamo tako, da funkcijo f omejimo (zožimo) na manjše definicijsko območje in s tem dosežemo, da je zožena funkcija f :  A → B bijektivna.
    Potem obstaja inverz f −1 :  B → A. Tak inverz včasih imenujemo tudi delni inverz.

    Zgled:
    Funkcija f (x) = x2 ni bijektivna (točneje: ni bijektivna funkcija R → R).
    Če pa jo zožimo na nenegativna števila, hitro ugotovimo, da je f bijektivna funkcija R0+→ R0+.
    V smislu te zožitve obstaja tudi inverzna funkcija f −1 :  R0+→ R0+, ki ima enačbo f −1(x) = koren iz x.

    Glej tudi: graf inverzne funkcije.